本文主要探討 Mathematica 9.0 在線性代數教育領域上的應用，利用軟體簡單指令即可求解複雜或冗長的線性代數問題。首先詳細介紹 Mathematica 9.0 中內建矩陣的相關指令，如：向量操作、構造矩陣、子矩陣、矩陣運算、線性系統、矩陣分解與矩陣測試。 再介紹在不同領域的應用，如：線性規劃、差分方程式和最小平方法等。 能夠讓教師在線性代數教學上變得方便以及增加學生學習的效果。

This paper investigates the applications of Mathematica 9.0 in linear algebra
education. It can be used to solve the complicated or tedious linear algebra
problems by simple commands. First we describe the detailed matrix-related
built-in commands, such as: operations on vectors, constructing matrices,
parts of matrices, matrix operations, linear systems, matrix decompositions
and matrix tests. Then introduced in different areas of application, such as:
linear programming, difference equations and least squares methods. It will
facilitate the lecturer for teaching linear algebra and enhance the effective
learning of linear algebra for students.

目錄

論文審定書 i
致謝 ii
摘要 iii
Abstract iv
表次 viii

第一章 前言 1

第二章 向量與矩陣 3
2.1 向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 基本向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 向量操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 向量計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 基本矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 操作矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 計算矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 特殊矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Mathematica 指令生成特殊矩陣 27
2.3.2 自訂函數生成隨機矩陣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

第三章 矩陣代數 36
3.1 矩陣運算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

第四章 線性方程組 45
4.1 解線性方程組 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 最小平方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 正交投影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

目錄


第五章 矩陣分解 60
5.1 對角化分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 特徵值與特徵向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 奇異值分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.1 奇異值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.2 奇異值分解的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 其他分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

第六章 應用 76
6.1 線性規劃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2 線性差分方程式的應用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.1 線性差分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2 非齊次方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.3 簡化成一階方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2.4 變數變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.5 離散動態系統 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 二次型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 二次型中的變數變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4 線性獨立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.5 基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5.1 找出 Span{v1, . . . , vm} 之一組基底 89
6.5.2 找出 Span{v1, . . . , vm} 之所有基底 90
6.5.3 判斷向量 w 是否屬於 Span{v1, . . . , vm} 91
6.5.4 判斷 Span{w1, . . . , wq } 是否為 Span{v1, . . . , vp} 的于集合 . 92
6.5.5 判斷 Span{v1, . . . , vp} 是否等於 Span{w1, . . . , wq } 93
6.5.6 四大空間基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
參考文獻 97
A Mathematica 指令 99
A.1 向量與矩陣 100
A.1.1 基本向量 100
A.1.2 向量操作 100
A.1.3 向量計算 101
A.1.4 基本矩陣 102
A.1.5 操作矩陣 103
A.1.6 計算矩陣 104
A.1.7 特殊矩陣 105
A.1.8 自訂函數生成隨機矩陣 106
A.4.3 自訂函數 111

索引 112

徐世敏 (2012)。綠性代數(第三版)。臺北:台灣培生教育。

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子矩陣:
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方程求解:
http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/EquationSolving.html
向量操作:
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矩陣和線性代數:
http://reference.wolfram.com/mathematica/guide/ MatricesAndLinearAlgebra.html
矩陣運算:
http://reference.wolfram.com/language/guide/MatrixOperations.html
矩陣分解:
http://reference.wolfram.com/language/guide/MatrixDecompositions. html
矩陣展示:
http://reference.wolfram.com/language/guide/MatrixDecompositions. html
線性系統:
http://reference.wolfram.com/language/guide/LinearSystems.html
構造矩陣:
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最優化:
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