本文對2000 到2015 年的美國高中數學競賽AMC 10, 12 與美國高中數學邀請賽
AIME 考題中針對「數論」的題型進行分類，針對所考的觀念、公式做一整理，並證明
重要定理及性質，最後介紹例子加深對觀念的印象與公式之熟練。
主要的內容有：『算術基礎』，包括合數、質數、因數、倍數、除法演算法、輾轉
相除法與貝祖定理等。『算術基本定理』，包括算術基本定理、因數個數、因數之和
等。『同餘』，包括同餘運算、中國剩餘定理、威爾遜定理、尤拉定理、費馬小定理、
尤拉函數、十進位的整除判斷準則等。

This study investigates the art of solving problems of number theory in Amer-
ican Mathematics Competition 10, 12 (AMC 10, 12) from year 2000 to 2015 and
American Invitational Mathematics Examination (AIME). These exam problems are
classi ed as three topics. The important de nitions and theorems are summarized in
the paper. The main topics includes (a) Basic Properties of Integers: division algo-
rithm, Euclidean algorithm, Bezout's identity, continued fraction; (b) Fundamental
Theorem of Arithmetic: fundamental theorem of arithmetic, number of divisors, sum
of divisors; (c) Modular: congruence relation, Chinese remainder theorem, Wilson
theorem, Euler's theorem, Fermat's little theorem.

論文審定書i
誌謝ii
摘要iii
Abstract iv
第一章前言1
第二章算術基礎3
2.1 質數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 除法演算法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 最大公因數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 最小公倍數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 輾轉相除法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 貝祖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 連分數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
第三章算術基本定理17
3.1 算術基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 因數個數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 因數之和. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
第四章同餘25
4.1 同餘運算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 中國剩餘定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 威爾遜定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 尤拉定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 費馬小定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6 十進位的整除判斷準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7 例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
參考文獻48
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